Что такое правильный многоугольник: определение, свойства, примеры

Правильный многоугольник – это геометрическая фигура, состоящая из равных сторон и равных углов. Одним из простейших примеров правильного многоугольника является равносторонний треугольник, у которого все стороны и углы равны. Однако, существуют и более сложные правильные многоугольники, такие как квадрат, пятиугольник, шестиугольник и т.д.

Основное свойство правильных многоугольников заключается в том, что все их внутренние углы равны. Например, у правильного треугольника каждый угол равен 60 градусов. У правильного квадрата все углы равны 90 градусов, а у правильного пятиугольника – 108 градусов. Чем больше углов у правильного многоугольника, тем меньше градусов будет составлять каждый из них.

Правильные многоугольники имеют множество применений в различных областях науки и техники. Они широко используются в архитектуре, дизайне, компьютерной графике, игровой индустрии и многих других сферах. Благодаря своим симметричным формам, правильные многоугольники отлично подходят для создания геометрических композиций с привлекательным визуальным эффектом.

Правильный многоугольник

Правильные многоугольники имеют специальные свойства, которые делают их особенными. Например, правильный треугольник (равносторонний треугольник) имеет все углы величиной 60 градусов и все стороны равны. Правильный четырехугольник — квадрат, у которого все углы прямые, а все стороны равны.

Правильные многоугольники играют важную роль в геометрии и математике. Они широко используются в конструкциях, дизайне и искусстве. Например, многогранники, такие как икосаэдр и додекаэдр, являются примерами правильных многоугольников в трехмерном пространстве.

В таблице ниже приведены примеры правильных многоугольников с указанием их сторон и углов:

Многоугольник	Количество сторон	Угол (в градусах)
Треугольник	3	60
Квадрат	4	90
Пятиугольник	5	108
Шестиугольник	6	120
Семиугольник	7	128.57
Восьмиугольник	8	135

Определение

Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник (пентагон), правильный шестиугольник (гексагон), правильный восьмиугольник (октаэдр) и так далее.

Многоугольник с одинаковыми сторонами и углами

Многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой, называется правильным многоугольником. Такие фигуры обладают рядом свойств, которые делают их особенными и интересными.

Все правильные многоугольники можно разделить на два типа: правильные многоугольники с чётным числом сторон и правильные многоугольники с нечётным числом сторон. Примерами правильных многоугольников с чётным числом сторон являются треугольник, четырехугольник (квадрат), шестиугольник (гексагон) и т.д. Примерами правильных многоугольников с нечётным числом сторон являются пятиугольник (пентагон) и семиугольник (гептагон).

В правильном многоугольнике с чётным числом сторон все углы равны 360 градусов, а все стороны равны между собой. В правильном многоугольнике с нечётным числом сторон углы равны между собой, а сумма всех углов равна 180 градусов.

Правильные многоугольники используются в разных областях, например, в геометрии, архитектуре и дизайне. Их геометрические свойства позволяют создавать симметричные и эстетически привлекательные фигуры.

Свойства

Правильный многоугольник обладает рядом свойств, которые его отличают от произвольных многоугольников:

• Равные стороны: Все стороны правильного многоугольника имеют одинаковую длину. Это свойство является основополагающим для определения правильного многоугольника.
• Равные углы: Углы между сторонами правильного многоугольника также равны. Например, для правильного треугольника все углы равны 60 градусам.
• Центральная симметрия: Правильные многоугольники обладают центральной симметрией, то есть имеют точку, которая делит их на две равные части при повороте на 180 градусов.
• Высоты и радиусы: В правильном многоугольнике все высоты и радиусы, проведенные из центра в вершины, равны. Это свойство позволяет определить центр правильного многоугольника.

Знание свойств правильных многоугольников позволяет эффективно изучать их особенности, а также применять их в различных задачах геометрии и конструкции.

Сумма внутренних углов равна (n-2)*180 градусов

Например, у правильного треугольника (n=3) сумма внутренних углов будет равна (3-2)*180 = 180 градусов.

А у правильного пятиугольника (n=5) сумма внутренних углов будет равна (5-2)*180 = 540 градусов.

Это общее свойство применимо для всех правильных многоугольников, независимо от их размера или формы.

n	Сумма внутренних углов
3 (треугольник)	180 градусов
4 (четырехугольник)	360 градусов
5 (пятиугольник)	540 градусов
6 (шестиугольник)	720 градусов

Радиус описанной окружности равен длине стороны

Радиус описанной окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ее границе. Для правильного многоугольника радиус описанной окружности всегда равен длине любой из его сторон.

Это свойство можно доказать с помощью геометрии и использования теоремы о равенстве центрального и окружного углов на окружности. Также можно использовать формулу для вычисления радиуса описанной окружности, которая зависит от длины стороны многоугольника.

Например, для правильного треугольника все стороны равны между собой, и радиус описанной окружности также будет равен длине любой из этих сторон. Аналогично, для правильного четырехугольника все стороны равны, и радиус описанной окружности будет равен длине любой из них.

Это свойство может быть полезным при решении геометрических задач, связанных с правильными многоугольниками. Знание радиуса описанной окружности позволяет вычислять длины сторон многоугольника и находить другие его характеристики.

Примеры

• Треугольник — правильный многоугольник с тремя равными сторонами и углами;
• Квадрат — правильный многоугольник с четырьмя равными сторонами и углами;
• Пятиугольник — правильный многоугольник с пятью равными сторонами и углами;
• Шестиугольник — правильный многоугольник с шестью равными сторонами и углами;
• Семиугольник — правильный многоугольник с семью равными сторонами и углами;
• Восьмиугольник — правильный многоугольник с восьмью равными сторонами и углами;

Примеры правильных многоугольников можно найти в множестве объектов вокруг нас, таких как знаки дорожного движения или окна в зданиях.

Треугольник (равносторонний)

Свойства равностороннего треугольника позволяют легко определить его. Например, можно проверить, что длины всех трех сторон одинаковы, или можно замерить углы треугольника и убедиться, что они равны 60 градусам.

Равносторонний треугольник является особенным видом треугольника, который имеет ряд интересных свойств. Например, его высота, проведенная из одного из углов, будет одновременно являться медианой и медианой тоже. Кроме того, в равностороннем треугольнике можно найти центр описанной окружности, который совпадает с центром вписанной окружности.

Четырехугольник (квадрат)

Квадрат — это особый тип четырехугольника, у которого все стороны равны между собой, а все углы прямые.

Свойства квадрата:

1. Все стороны квадрата имеют одинаковую длину.
2. Все углы квадрата равны 90 градусам (прямым).
3. Диагонали квадрата равны друг другу и перпендикулярны (пересекаются под прямым углом).
4. Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон.
5. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
6. Диагональ квадрата равна произведению длины его стороны на √2.

Примеры квадрата:

1. Заборная решетка, составленная из квадратных элементов.
2. Игральная кость.
3. Лист бумаги, аккуратно сложенный так, чтобы все стороны были равными и все углы прямыми.

Пятиугольник (правильный пятиугольник)

У правильного пятиугольника все его стороны равны друг другу, а все его углы также равны. Каждый угол правильного пятиугольника равен 108 градусам.

Примером правильного пятиугольника может служить звезда или пентагон. В звезде пятиугольника все пять сторон и углы равны между собой, что делает ее правильной. Пентагон — это также пример правильного пятиугольника, у которого все стороны и углы равны.

Шестиугольник (правильный шестиугольник)

У каждого правильного шестиугольника все углы равны 120 градусов, и все его стороны имеют одинаковую длину. Правильный шестиугольник может быть рассмотрен как комбинация шести равносторонних треугольников.

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить, зная длину его стороны. Формула для вычисления площади правильного шестиугольника также может быть получена путем разделения его на равносторонние треугольники и вычисления их площадей.

Примеры из природы, где можно найти правильные шестиугольники, включают пчелиные соты и молекулярные структуры в решетках кристаллов.

Семиугольник (правильный семиугольник)

Семиугольник, или правильный семиугольник, представляет собой геометрическую фигуру, которая имеет семь сторон и семь углов. Все стороны и углы правильного семиугольника равны между собой.

Семиугольник является частным случаем правильного многоугольника, который имеет больше чем три стороны и углы. Для правильного семиугольника характерно равномерное распределение своих сторон и углов, что делает его изысканным и симметричным.

Свойства семиугольника:

• Все стороны правильного семиугольника равны между собой;
• Все углы правильного семиугольника равны между собой и составляют 180 градусов;
• Сумма всех углов правильного семиугольника равна 900 градусов;
• Внутренние углы правильного семиугольника равны 128.57 градусов;
• Периметр правильного семиугольника вычисляется по формуле: Периметр = 7 * длина стороны;
• Площадь правильного семиугольника вычисляется по формуле: Площадь = (7 * длина стороны^2) / (4 * tg(180° / 7));

Примеры семиугольников:

Примером семиугольника может служить игральная кость семиугольной формы или множество геометрических фигур, среди которых можно найти правильные семиугольники.

Семиугольник является интересной геометрической фигурой, которая обладает особыми свойствами и применяется в различных областях, включая архитектуру, дизайн и науку.

Восьмиугольник (правильный восьмиугольник)

Свойства правильного восьмиугольника:

1. Все стороны правильного восьмиугольника равны.
2. Все углы правильного восьмиугольника равны между собой.
3. Сумма всех углов правильного восьмиугольника равна 1080 градусов.
4. Диагонали правильного восьмиугольника пересекаются в центре.
5. Площадь правильного восьмиугольника можно рассчитать с помощью следующей формулы: площадь = 2 * a^2 * (1 + √2), где a — длина стороны восьмиугольника.

Примеры правильных восьмиугольников:

• Октагон — правильный восьмиугольник, у которого все стороны и углы равны. Идеальный пример октагона — стопка 8 одинаковых кубиков, собранных так, чтобы снаружи образовывалась правильная восьмиугольная форма.
• Восьмиугольный башмак — специальная форма обуви для танцев, имеющая восьмиугольную форму.

Правильный восьмиугольник имеет свои уникальные свойства и применения в математике, геометрии, архитектуре и других областях. Его симметричная форма и равные стороны делают его привлекательным и использованным в различных дизайнах и конструкциях.

Девятиугольник (правильный девятиугольник)

Правильный девятиугольник имеет следующие свойства:

1. Все стороны девятиугольника равны между собой.
2. Все углы девятиугольника равны между собой и составляют 140 градусов.
3. Сумма всех углов девятиугольника всегда равна 1440 градусов.
4. Девятиугольник обладает девятью осями симметрии, проходящими через центр и вершины.

Правильные девятиугольники можно встретить в различных областях, включая архитектуру, дизайн, геометрические конструкции и многое другое.

Некоторые известные примеры девятиугольников включают в себя:

• Апотема Тумба-юмба: Девятиугольная пирамида, присутствующая на вершине Тумба-юмбы, горы в Боливии.
• Часы Минк: Часы со стеклянным циферблатом в виде правильного девятиугольника, расположенные на улице Минк в Екатеринбурге.
• Поле девятиугольников: Художественная инсталляция, созданная архитектором Пётром Трехлебовым и находящаяся в Москве.

Десятиугольник (правильный десятиугольник)

У десятиугольника есть несколько свойств:

Свойство	Описание
Количество сторон	Десятиугольник имеет 10 сторон.
Количество углов	Десятиугольник имеет 10 углов.
Равные стороны	Все стороны десятиугольника равны между собой.
Равные углы	Все углы десятиугольника равны между собой и составляют 144 градуса каждый.
Сумма углов	Сумма всех углов десятиугольника равна 1440 градусов.
Диагонали	У десятиугольника есть 35 диагоналей, которые соединяют его вершины.

Пример правильного десятиугольника — звезда с десятью равными сторонами и углами, состоящая из двух пересекающихся пентагонов. Другим примером может быть регулярный многоугольник с десятью равными сторонами и углами.

Одиннадцатиугольник (правильный одиннадцатиугольник)

Правильный одиннадцатиугольник — это особый вид одиннадцатиугольника, у которого все стороны равны между собой, а все углы также равны. Всего в правильном одиннадцатиугольнике существует одна плоскость симметрии, которая делит его на две половины, симметрично отображающиеся друг относительно друга.

Стандартный пример правильного одиннадцатиугольника — это шестиугольник. В нем все стороны имеют одинаковую длину, а все углы равны 150 градусам. Пример для такого многоугольника можно найти в геометрии, например, в некоторых режимах грида в компьютерной графике или в кристаллах с определенной структурой.

Правильные многоугольники являются основой для изучения геометрии и имеют много интересных свойств. В ходе исследования таких фигур можно обнаружить новые закономерности, углубить свои знания о геометрии и развить логическое мышление.

Двенадцатиугольник (правильный двенадцатиугольник)

Свойства правильного двенадцатиугольника:

1. У всех сторон равная длина;
2. У всех углов равное значение;
3. Углы двенадцатиугольника равны 150 градусам;
4. Сумма всех углов равна 1800 градусов;
5. У двенадцатиугольника существует 12 осей симметрии;
6. Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины любой третьей стороны.

Примеры двенадцатиугольника:

• Образуется при пересечении вертикальной плоскости с двенадцатью полупрямыми, исходящими из одной точки (вершины двенадцатиугольника);
• Соответствуют двенадцати равным сторонам четырехкула, вписанного в правильный двенадцатиугольник;
• Встречается в архитектуре, дизайне и искусстве в виде геометрических узоров или структур;
• Может быть использован в комбинации с другими фигурами для создания сложных узоров.

Тринадцатиугольник (правильный тринадцатиугольник)

Правильный тринадцатиугольник является редким геометрическим объектом, так как большинство многоугольников обычно имеют менее десяти сторон. Однако правильные тринадцатиугольники могут быть найдены в природе, например, в кристаллах или в некоторых физических и биологических структурах.

Примером тринадцатиугольника может служить рисунок на поле чаушковского — особый вид графического искусства, выполненного симметричным образом. В этом рисунке каждая сторона тринадцатиугольника имеет одинаковую длину и каждый угол равен 360/13 градусам.

Четырнадцатиугольник (правильный четырнадцатиугольник)

У правильного четырнадцатиугольника все стороны имеют одинаковую длину, а все углы равны 154,28 градуса. Также он обладает симметрией относительно центральной точки, из которой его можно вписать в окружность. Центр окружности является центром симметрии и пересечением всех биссектрис углов. Все диагонали внутри четырнадцатиугольника также равны между собой и делят его на восемь равных треугольников, четыре из которых являются равнобедренными.

Примерами правильных четырнадцатиугольников являются ромб, гексаграмма, а также некоторые геометрические фигуры, которые могут быть получены из них путем соединения их вершин линиями. Правильные четырнадцатиугольники также часто встречаются в архитектуре, искусстве и других областях человеческой деятельности как элементы декора и символики.

Пятнадцатиугольник (правильный пятнадцатиугольник)

Правильный пятнадцатиугольник обладает несколькими свойствами:

• Каждая сторона пятнадцатиугольника равна по длине
• Каждый угол пятнадцатиугольника равен 156°
• Пятнадцатиугольник является выпуклым многоугольником
• Число диагоналей пятнадцатиугольника равно 105
• Площадь пятнадцатиугольника может быть вычислена по формуле: S = (15 * a^2) / (4 * tan(π/15)), где a — длина стороны пятнадцатиугольника

Примером пятнадцатиугольника может являться равносторонний пятнадцатиугольник со стороной равной 1 единице. В этом случае площадь пятнадцатиугольника будет равна приблизительно 10,694 единиц квадратных.

Пятнадцатиугольники могут использоваться в архитектуре, геометрии и других областях, где требуется изучать и работать с многоугольниками.

Шестнадцатиугольник (правильный шестнадцатиугольник)

У правильного шестнадцатиугольника есть следующие свойства:

• Все его углы равны и имеют величину 157,5 градусов.
• Внутренние углы шестнадцатиугольника в сумме равны 2520 градусов.
• У каждой его стороны одинаковая длина.
• Центры окружностей, описанных вокруг каждой стороны, лежат на одной окружности.

Примером шестнадцатиугольника является форма игрового шестнадцатиугольного футбольного мяча, которая обычно состоит из шестиугольных и пятиугольных граней.